(05年湖南卷理)(14分)

    已知函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax2+bx,a≠0.

   (Ⅰ)若b=2,且h(x)=f(x)-g(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,求a的取值范圍;

   (Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象C1與函數(shù)g(x)圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1,C2于點M、N,證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

 

解析:(I)

因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間,所以<0有解.

又因為x>0時,則ax2+2x-1>0有x>0的解.

①當(dāng)a>0時,y=ax2+2x-1為開口向上的拋物線,ax2+2x-1>0總有x>0的解;

②當(dāng)a<0時,y=ax2+2x-1為開口向下的拋物線,而ax2+2x-1>0總有x>0的解;

  則△=4+4a>0,且方程ax2+2x-1=0至少有一正根.此時,-1<a<0.

  綜上所述,a的取值范圍為(-1,0)∪(0,+∞).

   (II)證法一  設(shè)點P、Q的坐標(biāo)分別是(x1, y1),(x2, y2),0<x1<x2.

         則點M、N的橫坐標(biāo)為

         C1在點M處的切線斜率為

         C2在點N處的切線斜率為

         假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行,則k1=k2.

         即,則

                 =

       所以  設(shè)

       令

       因為時,,所以)上單調(diào)遞增. 故

       則. 這與①矛盾,假設(shè)不成立.

       故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

證法二:同證法一得

       因為,所以

       令,得  ②

       令

       因為,所以時,

       故在[1,+上單調(diào)遞增.從而,即

       于是在[1,+上單調(diào)遞增.

       故這與②矛盾,假設(shè)不成立.

       故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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(05年湖南卷理)(14分)

      自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源,為持續(xù)利用這一資源,需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量,n∈N*,且x1>0.不考慮其它因素,設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比,死亡量與xn2成正比,這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a,b,c.

   (Ⅰ)求xn+1與xn的關(guān)系式;

   (Ⅱ)猜測:當(dāng)且僅當(dāng)x1,a,b,c滿足什么條件時,每年年初魚群的總量保持不變?(不

要求證明)

  (Ⅱ)設(shè)a=2,b=1,為保證對任意x1∈(0,2),都有xn>0,n∈N*,則捕撈強度b的

         最大允許值是多少?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(05年湖南卷理)(14分)

已知橢圓C:=1(a>b>0)的左.右焦點為F1、F2,離心率為e. 直線

l:y=ex+a與x軸.y軸分別交于點A、B,M是直線l與橢圓C的一個公共點,P是點F1關(guān)于直線l的對稱點,設(shè)=λ.

   (Ⅰ)證明:λ=1-e2

   (Ⅱ)確定λ的值,使得△PF1F2是等腰三角形.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(05年湖南卷理)(14分)

       某城市有甲、乙、丙3個旅游景點,一位客人游覽這三個景點的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點互不影響,設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值.

(Ⅰ)求ξ的分布及數(shù)學(xué)期望;

(Ⅱ)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2,+∞上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(05年湖南卷理)已知數(shù)列{log2(an-1)}(n∈N*)為等差數(shù)列,且a1=3,a2=5,則

  )=                                                      (   )

  A.2                   B.                 C.1                   D.

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