Question

已知奇函數(shù)f（x）=a-

b

2x+1

的圖象經(jīng)過點（1，1）
（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；
（Ⅱ）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題（Ⅰ）可以先根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，通過特殊值法得到關(guān)于a、b的方程，從而求出ab的值，再驗證函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；（Ⅱ）直接用定義法判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答： 解：（Ⅰ）∵奇函數(shù)f（x）=a-

b

2x+1

的圖象經(jīng)過點（1，1），
∴f（0）=0，
f（1）=1，
∴a-

b

2

=0，
a-

b

3

=1，
∴a=3，b=6．
∴f（x）=3-

6

2x+1

．
∴f（-x）=3-

6

2-x+1

=3-

6×2x

1+2x

=-3+

6

2x+1

=-f（x）．
函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，適合題意，
∴a=3，b=6．
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在定義域R上是單調(diào)遞增的函數(shù)．
證明：在R上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
f（x₂）-f（x₁）=（3-

6

2x2+1

）-（3-

6

2x1+1

）
=

6(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2 x2-2x1＞0，
2x1+1＞0，
2x2+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用和函數(shù)單調(diào)性的定義，本題難度不大，但是要注意在解題過程中邏輯的嚴密性，本題屬于中檔題．