Question

【題目】如圖，在棱長為2的正方體OABC﹣O′A′B′C′中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC上的動點．
（1）當AE=BF時，求證A′F⊥C′E；
（2）若E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，求直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：以CC'為z軸，CO為x軸，CB為y軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

設(shè)F（0，y，0），∵AE=BF，∴BE=CF，∴E（y，2，0），

又A′（2，2，2），C′（0，0，2），

∴ =（﹣2，y﹣2，﹣2）， =（y，2，﹣2），

∵ =﹣2y+2y﹣4+4=0，

∴ ⊥ ，∴A′F⊥C′E

（2）證明：解：E（1，2，0），F(xiàn)（0，1，0），B'（0，2，2），

， =（0，1，2），

設(shè)平面B'EF的法向量為 ，

則 ，取x=2，則z=1，y=﹣2，

又O′（2，0，2），B（0，2，0）， =（﹣2，2，﹣2），

設(shè)O′B與平面B′EF所成的角為θ，

則sinθ=|cos＜ ， ＞|= = ，

即直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值為 ．

【解析】（1）以CC'為z軸，CO為x軸，CB為y軸建立空間直角坐標系，利用向量法能證明A′F⊥C′E．（2）求出平面B'EF的法向量和 ，利用向量法能求出直線O′B與平面B′EF所成角的正弦值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識，掌握相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．