設(shè)數(shù)列{xn}各項(xiàng)為正,且滿足x12+x22+…xn2=2n2+2n.
(1)求xn
(2)已知
1
x1+x 2
+
1
x2+x3
+…+
1
xn+xn+1
=3
,求n;
(3)證明:x1x2+x2x3+…xnxn+1<2[(n+1)2-1].
分析:(1)x12+x22+…xn2可看成數(shù)列{xn2}的前n項(xiàng)和,利用n≥2時(shí),xn2=2n2+2n-[2(n-1)2+2(n-1)],就可求出xn2,進(jìn)而求出xn
(2)根據(jù)(1)中所求xn的通項(xiàng),求出數(shù)列{
1
xn+xn+1
}的通項(xiàng)公式,再求和,讓和等于3,就可求出n值.
(3)利用放縮法證明即可.
解答:解:(1)∵數(shù)列{xn}各項(xiàng)為正,且滿足x12+x22+…xn2=2n2+2n.
∴x1=2
當(dāng)n,xn2=2n2+2n-[2(n-1)2+2(n-1)]=4n,∴xn=2
n

∵x1=2也滿足上式,∴xn=2
n

(2 )∵
1
xn+xn+1
=
1
2 (
n
+
n+1
)
=
1
2
(
n+1
-
n
)

1
x1+x 2
+
1
x2+x3
+…+
1
xn+xn+1
=
1
2
(
n+1
-
1
)
=3
∴n=48
(3)xnxn+1=2
n
2
n+1
=4
n
n+1
4
n+(n+1)
2
=4n+2
∴x1x2+x2x3+…xnxn+1<(4×1+2)+(4×2+2)+…(4n+2)=
6+(4n+2)
2
n
=2[(n+1)2-1].
點(diǎn)評(píng):本題考查了數(shù)列中的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式之間的關(guān)系,以及放縮法證明不等式.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{xn}各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足
x
2
1
+
x
2
2
+…+
x
2
n
=2n2+2n

(1)求通項(xiàng)xn
(2)已知
1
x1+x2
+
1
x2+x 3
+
1
x3+x4
+…+
1
xn+xn+1
=3
,求n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

設(shè)數(shù)列{xn}各項(xiàng)為正,且滿足x12+x22+…xn2=2n2+2n.
(1)求xn;
(2)已知
1
x1+x 2
+
1
x2+x3
+…+
1
xn+xn+1
=3
,求n;
(3)證明:x1x2+x2x3+…xnxn+1<2[(n+1)2-1].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江省雙鴨山一中高三(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

設(shè)數(shù)列{xn}各項(xiàng)均為正數(shù),且滿足
(1)求通項(xiàng)xn
(2)已知,求n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年黑龍江省雙鴨山一中高三(上)第二次月考數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

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(1)求通項(xiàng)xn
(2)已知,求n的值.

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