Question

【題目】己知橢圓 （m＞n＞0）的離心率e的值為 ，右準(zhǔn)線方程為x=4．如圖所示，橢圓C左右頂點(diǎn)分別為A，B，過右焦點(diǎn)F的直線交橢圓C于M，N，直線AM，MB交于點(diǎn)P．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P（4， ），直線AN，BM的斜率分別為k1 ， k2 ， 求 ．
（3）求證點(diǎn)P在一條定直線上．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓 （a＞b＞0）的離心率e的值為 ，即 ，右準(zhǔn)線方程為x=4，即

解得：a=2，c=1，

∵a2=b2+c2

∴b= ．

故得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

（2）解：點(diǎn)P（4，3 ），A（﹣2，0），故得直線AP方程為y= ，與橢圓方程 聯(lián)立，求解M的坐標(biāo)為（0， ），

那么可得MN直線方程為y=1﹣3x，與橢圓方程 聯(lián)立，求解N的坐標(biāo)為（ ， ），

那么AN的斜率為k1= ，BM的斜率k2= ，則 =

（3）解：設(shè)斜率存在的MN的直線方程為y=k（x﹣1），利用設(shè)而不求的思想，M（x1，y1），N（x2，y2），

與橢圓方程 聯(lián)立，可得：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，

那么： …①， …②

由A，M的坐標(biāo)可得直線AM的方程為 ，

由B，N的坐標(biāo)可得直線BN的方程為 ，4

直線AM與直線BN聯(lián)立，可得： ，

∴ …③，

將①②代入③

解得：x=4．

故點(diǎn)P在直線x=4上．

當(dāng)k不存在時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，點(diǎn)P在直線x=4上滿足題意

【解析】（1）利用橢圓C的離心率為 ，右準(zhǔn)線的方程為x=4，建立方程，求出幾何量，可得橢圓C的方程；（2）利用A，P點(diǎn)，求出直線AP，與橢圓方程求解M的坐標(biāo)，直線MF與橢圓聯(lián)立求出N的坐標(biāo)，可得AN，BM的斜率分別為k1 ， k2 ， 可求 的值．（3）設(shè)出MN的直線方程y=k（x﹣1），利用設(shè)而不求的思想，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），表示出AN直線，BM直線的方程．AN直線與BM直線聯(lián)立方程求解p的坐標(biāo)，可得P在一條定直線上．