Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．

（1）求橢圓C及圓O的方程；

（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P．

①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；

②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）橢圓C的方程為；圓O的方程為

（2）①點P的坐標為；②直線l的方程為

【解析】分析：（1）根據條件易得圓的半徑，即得圓的標準方程，再根據點在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問先根據直線與圓相切得一方程，再根據直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點坐標.第二問先根據三角形面積得三角形底邊邊長，再結合①中方程組，利用求根公式以及兩點間距離公式，列方程，解得切點坐標，即得直線方程.

詳解：解：（1）因為橢圓C的焦點為，

可設橢圓C的方程為．又點在橢圓C上，

所以，解得

因此，橢圓C的方程為．

因為圓O的直徑為，所以其方程為．

（2）①設直線l與圓O相切于，則，

所以直線l的方程為，即．

由，消去y，得

．（*）

因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，

所以．

因為，所以．

因此，點P的坐標為．

②因為三角形OAB的面積為，所以，從而．

設，

由（*）得，

所以

．

因為，

所以，即，

解得舍去），則，因此P的坐標為．

綜上，直線l的方程為．