Question

已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，1），P（x，y）滿足

x-4y+3≤0 3x+5y≤25 x-1≥0

，則

OP

在

OA

方向上的投影的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，利用向量的數(shù)量積將投影|

OP

|•cos∠AOP轉(zhuǎn)化成

2x+y

5

，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內(nèi)的點(diǎn)M時(shí)，從而得到|

OP

|•cos∠AOP的最大值即可．

解答：解：在平面直角坐標(biāo)系中畫出不等式組所表示的可行域（如圖），
由于|

OP

|•cos∠AOP=

| OP |•| OA |cos∠AOP

| OA |

=

OP • OA

| OA |

，而

OA

=（2，1），

OP

=（x，y），
所以|

OP

|•cos∠AOP=

2x+y

5

，
令z=2x+y，則y=-2x+z，即z表示直線y=-2x+z在y軸上的截距，
由圖形可知，當(dāng)直線經(jīng)過可行域中的點(diǎn)M時(shí)，z取到最大值，
由

x-4y+3=0 3x+5y=25

得M（5，2），這時(shí)z=12，
所以|

OP

|•cos∠AOP=

12

5

=

12 5

5

，
故|

OP

|•cos∠AOP的最大值等于

12 5

5

．
故答案為：

12 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量的數(shù)量積、簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．巧妙識(shí)別目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是我們研究規(guī)劃問題的基礎(chǔ)，縱觀目標(biāo)函數(shù)包括線性的與非線性，非線性問題的介入是線性規(guī)劃問題的拓展與延伸，使得規(guī)劃問題得以深化．