Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).0

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；

（Ⅱ）若對任意的不等式| f′（x）|≤a恒成立，求a的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）,單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+）,極小值=

極小值=b.（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）若則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)為單調(diào)遞增，若則函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)為

單調(diào)遞減，若的左側(cè)右側(cè)，則是極大值，若的左側(cè)右側(cè)，則是極小值，求解即可；（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.根據(jù)不等式恒成立問題，則有，且，再根據(jù)題意確定上是減函數(shù).求出其最大值和最小值，構(gòu)造不等式組

試題解析：（Ⅰ） （1分）

令得的單調(diào)遞增區(qū)間為（a,3a）

令得的單調(diào)遞減區(qū)間為（－，a）和（3a，+） （4分）

∴當(dāng)x=a時，極小值=

當(dāng)x=3a時，極小值=b. （6分）

（Ⅱ）由||≤a，得－a≤－x2+4ax－3a2≤a.①（7分）

∵0<a<1，

∴a+1>2a.

∴上是減函數(shù). （9分）

∴

于是，對任意，不等式①恒成立，等價于

又∴

考點：1、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)；2、函數(shù)的極值；3、不等式恒成立問題.