Question

在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，且PD=AB．
（1）點M是PC的中點，求證：PA∥平面MBD；
（2）求點D到平面PBC的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（1）連接AC交BD于點O，由MO∥PA，又MO?面MBD，PA?面MBD，即可證明PA∥面MBC．
（2）由PD⊥面ABCD，可知PD⊥BC，又BC⊥CD，可證面PBC⊥面PDC，PC為交線，又在等腰直角△PDC中，有DM⊥PC，可知DM⊥面PBC，在Rt△PDC中，根據PD，DC即可求DM的值．

解答： 證明：（1）連接AC交BD于點O，
在△PAC中，MO是中位線，
∴MO∥PA，
又MO?面MBD，PA?面MBD，
∴PA∥面MBC．

（2）∵PD⊥面ABCD，
∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥面PDC，又BC?面PBC，
∴面PBC⊥面PDC，PC為交線，
又在等腰直角△PDC中，有DM⊥PC，
∴DM⊥面PBC，
∴DM即為所求距離，
在Rt△PDC中，PD=2，DC=2，故DM=

2

，
即點D到平面PBC的距離等于

2

．

點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，點、線、面間的距離計算，考查了空間想象能力和轉化思想，屬于中檔題．