Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)和定直線的距離之比為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線．

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)作斜率不為0的任意一條直線與曲線交于兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在一點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），使得，若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（I）;（Ⅱ）存在點(diǎn).

【解析】試題分析：（I）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為直接找出關(guān)于的方程,這就是曲線的軌跡方程. （Ⅱ） 可知直線與傾斜角互補(bǔ),則,設(shè)帶入式,得到的方程,求出的值.

試題解析：

（I）法1：設(shè),則依題意有

整理得,即為曲線的方程.

法2：由橢圓第二定義知，曲線是以為焦點(diǎn)，以直線為相應(yīng)準(zhǔn)線，離心率為的橢圓，易得曲線的方程為.

（Ⅱ）存在.

設(shè)直線,

則，即

由得,即

整理得

∴ 解得

綜上知, 在軸上是存在點(diǎn)滿足題意.