Question

已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設出數(shù)列的公差，利用等比中項的性質建立等式求得d，則數(shù)列的通項公式可得．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中數(shù)列的通項公式，表示出S_n根據S_n＞60n+800，解不等式根據不等式的解集來判斷．

解答： 解：（Ⅰ）設數(shù)列{a_n}的公差為d，依題意，2，2+d，2+4d成比數(shù)列，故有（2+d）²=2（2+4d），
化簡得d²-4d=0，解得d=0或4，
當d=0時，a_n=2，
當d=4時，a_n=2+（n-1）•4=4n-2．
（Ⅱ）當a_n=2時，S_n=2n，顯然2n＜60n+800，
此時不存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800成立，
當a_n=4n-2時，S_n=

n[2+(4n-2)]

2

=2n²，
令2n²＞60n+800，即n²-30n-400＞0，
解得n＞40，或n＜-10（舍去），
此時存在正整數(shù)n，使得S_n＞60n+800成立，n的最小值為41，
綜上，當a_n=2時，不存在滿足題意的正整數(shù)n，
當a_n=4n-2時，存在滿足題意的正整數(shù)n，最小值為41

點評：本題主要考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質．要求學生對等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，求和公式熟練記憶．