如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,離心率為,若不過點(diǎn)A的動直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),·=0.

(1)求橢圓C的方程.

(2)求證:直線l過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).

 

(1) +y2=1 (2)見解析

【解析】(1)依題意有

故橢圓C的方程為:+y2=1.

(2)·=0,APAQ,從而直線AP與坐標(biāo)軸不垂直,A(0,1)可設(shè)直線AP的方程為y=kx+1,直線AQ的方程為y=-x+1(k0).

y=kx+1代入橢圓C的方程+y2=1并整理得:(1+3k2)x2+6kx=0,

解得x=0x=-,

因此P的坐標(biāo)為(-,-+1),

(-,),

將上式中的k換成-,Q(,).

直線l的方程為y=(x-)+,化簡得直線l的方程為y=x-,

因此直線l過定點(diǎn)N(0,-).

 

練習(xí)冊系列答案
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在平面直角坐標(biāo)系xOy,已知橢圓C1:+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F1(-1,0),且點(diǎn)P(0,1)C1,

(1)求橢圓C1的方程.

(2)設(shè)直線l同時與橢圓C1和拋物線C2:y2=4x相切,求直線l的方程.

 

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過雙曲線-=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線相交于M,N兩點(diǎn),O為雙曲線的中心,·=0,則雙曲線的離心率為    .

 

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當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時,直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點(diǎn)C,則以C為圓心,為半徑的圓的方程為(  )

(A)x2+y2-2x+4y=0 (B)x2+y2+2x+4y=0

(C)x2+y2+2x-4y=0 (D)x2+y2-2x-4y=0

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)五十二第八章第三節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題

若直線3x+y+a=0過圓x2+y2+2x-4y=0的圓心,a的值為(  )

(A)-1 (B)1 (C)3 (D)-3

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014年高考數(shù)學(xué)全程總復(fù)習(xí)課時提升作業(yè)五十九第八章第十節(jié)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題

已知拋物線方程為y2=4x,直線l的方程為x-y+4=0,在拋物線上有一動點(diǎn)Py軸的距離為d1,P到直線l的距離為d2,d1+d2的最小值為(  )

(A)+2 (B)+1 (C)-2 (D)-1

 

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