Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，求函數(shù)的極值；

（2）若，對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，極小值為，當(dāng)時(shí)，極大值為；（2）.

【解析】

（1）由求出，然后利用導(dǎo)數(shù)研究出的單調(diào)性即可

（2）不等式可變形為，由，且，得函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，則在上恒成立，即在上恒成立，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊的最小值即可.

（1）由題意得函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

由函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，得，解得.

此時(shí)，.

令，得或.

當(dāng)和時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

則當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，為，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，為.

（2）由得.

不等式可變形為，即.

因?yàn)?/span>，且，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.

令，

則在上恒成立，

即在上恒成立.

設(shè)，

則.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以，

所以，

即實(shí)數(shù)的取值范圍為.