【題目】已知數(shù)列中,,點(diǎn)()在直線(xiàn)y = x上,
(Ⅰ)計(jì)算a2,a3,a4的值;
(Ⅱ)令bn=an+1﹣an﹣1,求證:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(Ⅲ)設(shè)Sn、Tn分別為數(shù)列{an}、{bn}的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得數(shù)列為等差數(shù)列?若存在,試求出λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)見(jiàn)解析;(Ⅲ)存在λ=2.
【解析】試題分析:(1)根據(jù)點(diǎn)在直線(xiàn) 上,可得,代入計(jì)算可得的值;(2)利用,及,即可證明數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求得數(shù)列的前三項(xiàng),求得 ,再驗(yàn)證即可求得結(jié)論.
試題解析:(Ⅰ)由題意,∵點(diǎn)(n,2an+1﹣an)在直線(xiàn)y=x上,
∴2an+1﹣an=n
∵,∴,
同理,,;
(Ⅱ)證明:∵bn=an+1﹣an﹣1,2an+1﹣an=n
∴bn+1=an+2﹣an+1﹣1=﹣an+1﹣1=(an+1﹣an﹣1)=bn,
∵b1=a2﹣a1﹣1=﹣
∴數(shù)列{bn}是以﹣為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列;
(Ⅲ)解:存在λ=2,使數(shù)列是等差數(shù)列.
由(Ⅱ)知,,,
∵an+1=n﹣1﹣bn=n﹣1+,∴an=n﹣2+,
∴Sn==
由題意,要使數(shù)列是等差數(shù)列,則
∴2×=﹣λ+,∴λ=2
當(dāng)λ=2時(shí), =,數(shù)列是等差數(shù)列
∴當(dāng)且僅當(dāng)λ=2時(shí),數(shù)列是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率;
(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo),在一年內(nèi)預(yù)計(jì)銷(xiāo)售量Q(萬(wàn)件)與廣告費(fèi)x(萬(wàn)元)之間的函數(shù)關(guān)系為Q= (x>1),已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定投入為3萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品另需再投入32萬(wàn)元,若每件銷(xiāo)售價(jià)為“年平均每件生產(chǎn)成本(生產(chǎn)成本不含廣告費(fèi))的150%”與“年平均每件所占廣告費(fèi)的50%”之和.
(1)試將年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)表示為年廣告費(fèi)x(萬(wàn)元)的函數(shù);(年利潤(rùn)=銷(xiāo)售收入-成本)
(2)當(dāng)年廣告費(fèi)為多少萬(wàn)元時(shí),企業(yè)的年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)生產(chǎn)甲,乙兩種產(chǎn)品均需用兩種原料,已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需用原料及每天原料的可用限額如下表所示,如果生產(chǎn)1噸甲,乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元、4萬(wàn)元,則該企業(yè)可獲得最大利潤(rùn)為__________萬(wàn)元.
甲 | 乙 | 原料限額 | |
A(噸) | 3 | 2 | 12 |
B(噸) | 1 | 2 | 8 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)是直線(xiàn)與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn),分別為該橢圓的左右焦點(diǎn),設(shè)取得最小值時(shí)橢圓為.
(I)求橢圓的方程;
(II)已知是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),是橢圓上異于的任意一點(diǎn),直線(xiàn)分別與軸交于點(diǎn),試判斷是否為定值,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線(xiàn)的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為,且曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)在直線(xiàn)上.
(1)若直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn),求的值;
(2)求曲線(xiàn)的內(nèi)接矩形的周長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圍建一個(gè)面積為360的矩形場(chǎng)地,要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修),其它三面圍墻要新建,在舊墻的對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口,如圖所示,已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m,新墻的造價(jià)為180元/m,設(shè)利用的舊墻的長(zhǎng)度為(單位:),修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用為(單位:元)
(1)將表示為的函數(shù);
(2)試確定,使修建此矩形場(chǎng)地圍墻的總費(fèi)用最小,并求出最小總費(fèi)用。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知雙曲線(xiàn)與橢圓有相同的焦點(diǎn),實(shí)半軸長(zhǎng)為.
(1)求雙曲線(xiàn)的方程;
(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,且(其中為原點(diǎn)),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為直角梯形,,,平面底面,為的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),,,.
(1)求證:平面平面;
(2)若,求二面角的大小.
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