Question

已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件：

x-y+2≥0 3x-y-2≤0 x≥0 y≥0

，若條件為目標(biāo)函數(shù)z=ax+by最大值為6，則ab的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專(zhuān)題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定z取最大值點(diǎn)的最優(yōu)解，利用基本不等式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由約束條件

x-y+2≥0 3x-y-2≤0 x≥0 y≥0

作差可行域如圖，
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
則直線的斜率k=-

a

b

＜0，截距最大時(shí)，z也最大．
平移直y=-

a

b

x+

z

b

，由圖象可知當(dāng)直線y=-

a

b

x+

z

b

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，
直線y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此時(shí)z最大，
由

x-y+2=0 3x-y-2=0

，解得

x=2 y=4

，
即A（2，4），
此時(shí)z=2a+4b=6，
即a+2b=3，
∴3=a+2b≥2

2ab

，即

ab

≤

3

2 2

，ab≤

9

8

，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b，即a=

3

2

，b=

3

4

時(shí)上式“=”成立．
∴ab的最大值為

9

8

．
故答案為：

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義先求出最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵，考查了利用基本不等式求最值，是中檔題．