Question

在復(fù)平面內(nèi)，O是原點(diǎn)，向量

OA

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是z₁，z₁=2+i．
（Ⅰ）如果點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，求向量

AB

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z₂和|z₁•z₂|；
（Ⅱ）復(fù)數(shù)z₃=

2

+

3

i，z4=

3

-

2

i，z₃，z₄對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C，D．試判斷A、B、C、D四點(diǎn)是否在同一個(gè)圓上？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)

分析：（I）點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，A（2，1），可得B（2，-1）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得

AB

，z₂=-2i．利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則可得z₁•z₂，利用模的計(jì)算公式即可得出．
（II）由于

OA

=（2，1），可得|

OA

|=

22+12

=

5

．同理可得|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=

5

，即可判斷出．

解答： 解：（I）∵點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B，A（2，1），∴B（2，-1）
∴

AB

=（0，-2），∴z₂=-2i．
∴z₁•z₂=（2+i）•（-2i）=2-4i，
∴|z₁•z₂|=

22+(-4)2

=2

5

；
（II）∵

OA

=（2，1），
∴|

OA

|=

22+12

=

5

．同理可得|

OB

|=|

OC

|=|

OD

|=

5

，
∴A、B、C、D四點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等，
∴A、B、C、D四點(diǎn)是在以原點(diǎn)為圓心、

5

為半徑的同一個(gè)圓上．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、模的計(jì)算公式、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．