Question

平面上定點A、B距離為4，動點C滿足|CA|-|CB|=3，則|CA|的最小值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   5

Answer 1

C
分析：設A在B的左邊，以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立坐標系，由題意可得雙曲線方程為-=1．再設C（m，n），得
|CA|²=（m+2）²+n²，化簡得|CA|²=m²+4m+，最后根據m的取值范圍結合二次函數的單調性，可求得|CA|的最小值．
解答：∵動點C滿足|CA|-|CB|=3，且|AB|=4＞3
∴點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的靠近B的一支
設A在B的左邊，以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立坐標系，可得
A（-2，0），B（2，0），設雙曲線方程為-=1（a＞0，b＞0）
∴a=，c=2，得b==，雙曲線方程為-=1
設C（m，n），得|CA|²=（m+2）²+n²=（m+2）²+（m²-1）=m²+4m+
∵C點橫坐標m，
∴當且僅當m=時，|CA|²的最小值為，得|CA|的最小值是
故選：C
點評：本題給出動點C滿足的軌跡方程，求點C到定點A距離的最小值，著重考查了軌跡與方程、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．