Question

平面上定點A、B距離為4，動點C滿足|CA|-|CB|=3，則|CA|的最小值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  7

  2

• D．5

Answer 1

分析：設(shè)A在B的左邊，以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立坐標系，由題意可得雙曲線方程為

x2

9 4

-

y2

7 4

=1．再設(shè)C（m，n），得
|CA|²=（m+2）²+n²，化簡得|CA|²=

16

9

m²+4m+

9

4

，最后根據(jù)m的取值范圍結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性，可求得|CA|的最小值．

解答：解：∵動點C滿足|CA|-|CB|=3，且|AB|=4＞3
∴點C的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線的靠近B的一支
設(shè)A在B的左邊，以AB所在直線為x軸，AB中點為原點建立坐標系，可得
A（-2，0），B（2，0），設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∴a=

3

2

，c=2，得b=

c2-a2

=

7

2

，雙曲線方程為

x2

9 4

-

y2

7 4

=1
設(shè)C（m，n），得|CA|²=（m+2）²+n²=（m+2）²+

7

4

（

4

9

m²-1）=

16

9

m²+4m+

9

4

∵C點橫坐標m≥

3

2

，
∴當且僅當m=

3

2

時，|CA|²的最小值為

49

4

，得|CA|的最小值是

7

2

故選：C

點評：本題給出動點C滿足的軌跡方程，求點C到定點A距離的最小值，著重考查了軌跡與方程、雙曲線的標準方程與簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．