Question

某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計(jì)厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為

80π

3

立方米，且l≥2r．假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)．已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為c（c＞3）千元．設(shè)該容器的建造費(fèi)用為y千元．
（Ⅰ）寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的r．

Answer 1

分析：（1）由圓柱和球的體積的表達(dá)式，得到l和r的關(guān)系．再由圓柱和球的表面積公式建立關(guān)系式，將表達(dá)式中的l用r表示．并注意到寫定義域時(shí)，利用l≥2r，求出自變量r的范圍．
（2）用導(dǎo)數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進(jìn)行分類討論．

解答：解：（1）由體積V=

4

3

πr3+πr2l=

80π

3

，解得l=

80-4r3

3r2

，
∴y=2πrl×3+4πr²×c
=6πr×

80-4r3

3r2

+4cπr²
=2π•

80+(2c-4)r3

r

，
又l≥2r，即

80-4r3

3r2

≥2r，解得0＜r≤2
∴其定義域?yàn)椋?，2]．
（2）由（1）得，y′=8π（c-2）r-

160π

r2

，
=

8π(c-2)

r2

(r3-

20

c-2

)，0＜r≤2
由于c＞3，所以c-2＞0
當(dāng)r³-

20

c-2

=0時(shí)，則r=

3	20 c-2

令

3	20 c-2

=m，（m＞0）
所以y′=

8π(c-2)

r2

(r-m)(r2+rm+m2)
①當(dāng)0＜m＜2即c＞

9

2

時(shí)，
當(dāng)r=m時(shí)，y′=0
當(dāng)r∈（0，m）時(shí)，y′＜0
當(dāng)r∈（m，2）時(shí)，y′＞0
所以r=m是函數(shù)y的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)．
②當(dāng)m≥2即3＜c≤

9

2

時(shí)，
當(dāng)r∈（0，2）時(shí)，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減．
所以r=2是函數(shù)y的最小值點(diǎn)．
綜上所述，當(dāng)3＜c≤

9

2

時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=2；
當(dāng)c＞

9

2

時(shí)，建造費(fèi)用最小時(shí)r=

3	20 c-2

點(diǎn)評：利用導(dǎo)數(shù)的知識研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值問題是高考經(jīng)�？疾榈闹�識點(diǎn)，同時(shí)分類討論的思想也蘊(yùn)含在其中．