Question

【題目】如圖，已知橢圓：的離心率為，過左焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，直線：交橢圓于兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：點(diǎn)在直線上；

（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析（3）存在，且

【解析】

（1）根據(jù)離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求得中點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入直線的方程，滿足方程，由此證得點(diǎn)在直線上.（3）由（2）知到的距離相等，根據(jù)兩個三角形面積的關(guān)系，得到是的中點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，并由此求得的值.

解：(1) 解：由，解得，

所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）設(shè)，，，

，消得，，

解得

將代入到中，滿足方程

所以點(diǎn)在直線上.

（3）由（2）知到的距離相等，

若的面積是面積的3倍，得，

有，

∴是的中點(diǎn)，

設(shè)，則，

聯(lián)立，解得，

于是

解得，所以.