求滿足下列條件的曲線的標準方程:
(1)對稱軸是x軸,并且頂點到焦點的距離等于8的拋物線;
(2)a=10,e=
35
,焦點在x軸上的橢圓;
(3)到點(0,-10),(0,10)距離之差的絕對值為16的雙曲線.
分析:(1)由已知條件,設(shè)出拋物線的標準方程,求出p,由此能求出拋物線方程;
(2)由已知條件,設(shè)出橢圓的標準方程,由已知條件分別求出a,b,由此能求出橢圓方程;
(3)利用雙曲線的定義,根據(jù)已知條件能求出雙曲線的方程.
解答:解:(1)∵拋物線的對稱軸是x軸,
∴設(shè)拋物線方程為y2=2px,p>0,或y2=-2px,p>0,
∴拋物線的頂點到焦點的距離等于8,
p
2
=8,解得p=16,
∴拋物線方程為y2=32x,或y2=-32x.
(2)∵橢圓焦點在x軸上,
∴設(shè)橢圓方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
,
∵a=10,e=
3
5

∴c=6,b2=102-62=64,
∴橢圓方程為
x2
100
+
y2
64
=1

(3)∵雙曲線上的點到點(0,-10),(0,10)距離之差的絕對值為16,
∴雙曲線的焦點在y軸上,且c=10,2a=16,
b2=102-(
16
2
)2
=36,
∴雙曲線方程為
y2
64
-
x2
36
=1
點評:本題考查拋物線、橢圓、雙曲線的性質(zhì)及其應(yīng)用,解題時要認真審題,熟練掌握拋物線、橢圓、雙曲線的基礎(chǔ)知識.
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3
,1),Q(
3
,-2)
的橢圓的標準方程;
(2)與雙曲線
x2
9
-
y2
16
=1
有公共漸近線,且經(jīng)過點(-3,2
3
)的雙曲線的標準方程;
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