Question

已知橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

，直線l：y=x+2與以原點為圓心、橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點為F₂，直線l₁過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線l₂垂直l₁于點P，線段PF₂的垂直平分線交l₂于點M，求動點M的軌跡C₂的方程；
（Ⅲ）過橢圓C₁的焦點F₂作直線l與曲線C₂交于A、B兩點，當l的斜率為

1

2

時，直線l₁上是否存在點M，使AM⊥BM？若存在，求出M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

3

3

⇒2a²=3b²，x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切⇒b²=2，從而可求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）⇒l₁：x=-1，設(shè)M（x，y），由|MP|=|MF₂|⇒|x-(-1)|=

(x-1)2+y2

化簡即得點M的軌跡C₂的方程為y²=4x．
（Ⅲ）設(shè)A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)，假設(shè)直線l₁：x=-1上存在點M（-1，m），使得AM⊥BM，直線l的方程x-2y-1=0與y²=4x聯(lián)立，得y²-8y-4=0，利用韋達定理與則

AM

•

BM

=0即可求得點M的坐標．

解答：解：（Ⅰ）∵e=

3

3

，
∴e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

3

，
∴2a²=3b²
∵直線l：x-y+2=0與圓x²+y²=b²相切，
∴

2

2

=b，b=

2

，b2=2，
∴a²=3．
∴橢圓C₁的方程是

x2

3

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），所以l₁：x=-1，設(shè)M（x，y），
∵|MP|=|MF₂|，
∴|x-(-1)|=

(x-1)2+y2

化簡得：y²=4x，
∴點M的軌跡C₂的方程為y²=4x．
（Ⅲ）∵直線l的方程為x-2y-1=0，代入y²=4x，得y²-8y-4=0．
由韋達定理得y₁+y₂=8，y₁y₂=-4，設(shè)A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)，
設(shè)直線l₁：x=-1上存在點M（-1，m），使得AM⊥BM，則

AM

•

BM

=0，
∴(-1-

y 2 1

4

，m-y1)•(-1-

y 2 2

4

，m-y2)=0，
∴16m²-16m（y₁+y₂）+4（y₁²+y₂²）+y₁²y₂²+16y₁y₂+16=0，
∴m²-8m+16=0，解得m=4，
∴準線上存在點M（-1，4），使AM⊥BM．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，著重考查待定系數(shù)法與定義法求圓錐曲線的方程，難點在于（Ⅲ）直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，方程組的聯(lián)立，韋達定理的使用，向量的坐標運算，復雜的化簡與計算，屬于難題．