【題目】設函數(shù).
(I)當a=1時,證明在是增函數(shù);
(Ⅱ)若當時,,求a取值范圍.
【答案】(I)見解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)當a=1時,求得f′(x)(x>0).令g(x)=ex﹣1﹣x,求出g(x)的導函數(shù),分析g(x)的單調(diào)性,求得g(x)有最小值0,從而可得g(x)≥0,即f′(x)≥0,則f(x)在(0,+∞)是增函數(shù);
(Ⅱ)設h(x)=f(x+1)=ln(x+1)+ae﹣x﹣a(x>0),求其導函數(shù),得h′(x).令p(x)=ex﹣a(x+1),對a分類分析p(x)的符號,得到h(x)的單調(diào)性,從而求得滿足f(x+1)>0時a的取值范圍.
(Ⅰ)當a=1時,f′(x)(x>0).
令g(x)=ex﹣1﹣x,g′(x)=ex﹣1﹣1,
由g′(x)=0,可得x=1.
當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,
當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,
∴當x=1時,g(x)min=g(1)=0,即g(x)≥0,
∴f′(x)≥0,則f(x)在(0,+∞)是增函數(shù);
(Ⅱ)解:設h(x)=f(x+1)=ln(x+1)+ae﹣x﹣a(x>0),
h′(x).
令p(x)=ex﹣a(x+1),則p′(x)=ex﹣a.
①當a≤1時,p′(x)>e0﹣a=1﹣a≥0,
∴p(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴p(x)>p(0)=1﹣a≥0.
∴h′(x)>0,
∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
則h(x)>h(0)=0,結(jié)論成立;
②當a>1時,由p′(x)=0,可得x=lna,
當x∈(0,lna)時,p′(x)<0,p(x)單調(diào)遞減,
又p(0)=1﹣a<0,
∴x∈(0,lna)時,p(x)<0恒成立,
即h′(x)<0.
∴x∈(0,lna)時,h(x)單調(diào)遞減,
此時h(x)<h(0)=0,結(jié)論不成立.
綜上,a≤1.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓 的左、右焦點分別為,,短軸的兩端點分別為,,線段,的中點分別為,,且四邊形是面積為8的矩形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)過作直線交橢圓于,兩點,若,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】點到點, 及到直線的距離都相等,如果這樣的點恰好只有一個,那么實數(shù)的值是( )
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】試題分析:由題意知在拋物線上,設,則有,化簡得,當時,符合題意;當時,,有,,則,所以選D.
考點:1、點到直線的距離公式;2、拋物線的性質(zhì).
【方法點睛】本題考查拋物線的概念、性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題,到點和直線的距離相等,則的軌跡是拋物線,再由直線與拋物線的位置關(guān)系可求;拋物線的定義是解決物線問題的基礎(chǔ),它能將兩種距離(拋物線上的點到到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化,如果問題中涉及拋物線的焦點和準線,又能與距離聯(lián)系起來,那么用拋物線的定義就能解決.
【題型】單選題
【結(jié)束】
13
【題目】在極坐標系中,已知兩點, ,則, 兩點間的距離為__________.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的零點;
(2)若函數(shù)為偶函數(shù),求實數(shù)的值;
(3)若不等式在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設函數(shù),.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性,并指出其單調(diào)區(qū)間;
(2)若對恒成立,求的取值范圍.
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【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程是 (是參數(shù), ),直線的參數(shù)方程是 (是參數(shù)),曲線與直線有一個公共點在軸上,以坐標原點為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系
(1)求曲線的極坐標方程;
(2)若點,,在曲線上,求的值.
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