Question

定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M，都有f（x）≥M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的下界．已知函數(shù)f（x）=（x²-3x+3）•e^x，其定義域?yàn)閇-2，t]（t＞-2），設(shè)f（-2）=m，f（t）=n．
（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上為單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）試判斷m，n的大小，并說明理由；并判斷函數(shù)f（x）在定義域上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說明理由；
（3）求證：對(duì)于任意的t＞-2，總存在x₀∈（-2，t）滿足

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²，并確定這樣的x₀的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0和令導(dǎo)函數(shù)小于0，求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出t的取值范圍；
（2）首先求出f（x）在x=1處取極小值e，然后得出f（-2）＜e，進(jìn)而可知f（-2）＜f（t）；
（3）先將x₀代入f'（x）求出

f′(x0)

ex0

=x²-x₀，然后轉(zhuǎn)化成方程x²-x-

2

3

（t-1）²=0在（-2，t）上有解的問題，分類討論確定x₀的個(gè)數(shù)．

解答：解：（1）f′（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x．
由f′（x）＞0?x＞1或x＜0；由f′（x）＜0?0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，
要使f（x）在[-2，t]上為單調(diào)遞增函數(shù)，則-2＜t≤0
（2）n＞m．
因?yàn)閒（x）在（-∞，0]，[1，+∞）上單調(diào)遞增，在[0，1]上單調(diào)遞減，
所以f（x）在x=1處取極小值e．又f（-2）=

13

e2

＜e，
所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值為f（-2），從而當(dāng)t＞-2時(shí)，f（-2）＜f（t），
即m＜n．
由上知，因?yàn)閒（x）在（-∝，0）上遞增，且恒大于0，f（x）在（0，+∞）的最小值為e，
所以函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是有界函數(shù)，M=0
（3）因?yàn)?span id="hpv9rvn" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

f′(x0)

ex0

=x²-x₀，所以

f′(x0)

ex0

=

2

3

（t-1）²，即為x²-x₀=

2

3

（t-1）²．
令g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²，從而問題轉(zhuǎn)化為證明方程g（x）=x²-x-

2

3

（t-1）²=0
在（-2，t）上有解，并討論解的個(gè)數(shù)．
因?yàn)間（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

（t+2）（t-4），g（t）=t（t-1）-

2

3

（t-1）²=

1

3

（t+2）（t-1），
所以①當(dāng)t＞4或-2＜t＜1時(shí)，g（-2）•g（t）＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解；
②當(dāng)1＜t＜4時(shí)，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-

2

3

（t-1）²＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有兩解；③當(dāng)t=1時(shí)，g（x）=x²-x=0?x=0或x=1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解；
④當(dāng)t=4時(shí)，g（x）=x²-x-6=0?x=-2或x=3，
所以g（x）=0在（-2，4）上有且只有一解
綜上所述，對(duì)于任意t＞-2，總存在x₀∈（-2，t），滿足

f′(x0)

xx0

=

2

3

（t-1）²，
且當(dāng)t≥4或-2＜t≤1時(shí)，有唯一的x₀符合題意；
當(dāng)1＜t＜4時(shí)，有兩個(gè)x₀符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查情境題的解法，在解決中要通過給出的條件轉(zhuǎn)化為已有的知識(shí)和方法去解決，本題主要體現(xiàn)了定義法，恒成立和最值等問題，綜合性強(qiáng)，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中要有恒心和毅力．