Question

【題目】如圖所示，B為△ACD所在平面外一點(diǎn)，M，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心．

(1)求證：平面MNG∥平面ACD；

(2)求

Answer 1

【答案】⑴見(jiàn)證明；⑵ 1∶9

【解析】

（1）利用三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理，證明MN∥平面ACD，MG∥平面ACD，再證明平面MNG∥平面ACD；

（2）證明，其相似比為1∶3，可得結(jié)論．

⑴連接BM，BN，BG并延長(zhǎng)分別交AC，AD，CD于P，F(xiàn)，H．

∵M(jìn)，N，G分別為△ABC，△ABD，△BCD的重心，

則有

且P，H，F(xiàn)分別為AC，CD，AD的中點(diǎn)．

連接PF，F(xiàn)H，PH，有MN∥PF．

又PF平面ACD，MN平面ACD，

∴MN∥平面ACD．

同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，

∴平面MNG∥平面ACD．

(2)解 由(1)可知

，

又，∴．

同理，

，其相似比為1∶3．

∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．