Question

已知Rt△ABC兩銳角A，B的正弦值，是實(shí)系數(shù)方程的兩根．若數(shù)列{a_n}滿足，且a₁=5．試求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

【答案】分析：由題意可得=cosA，結(jié)合同角平分關(guān)系sin²A+cos²A=1可得，由方程的根與系數(shù)關(guān)系可求k=1或k=，經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)k=1時(shí)，無(wú)解不合題意；當(dāng)時(shí)，符合題意，代入可得，從而可得 {a_n-1}是等比數(shù)列，可求a_n，由等比數(shù)列的求和公式及分組求和的方法可求
解答：解：∵方程的兩根是一個(gè)直角三角形的兩銳角A、B的正弦，
令x₁=sinA，x₂=sinB=cosA
∵sin²A+cos²A=1
∴
∵x₁+x₂=k，x₁x₂=
∴，
即3k²-5k+2=0
∴k=1或k=．
當(dāng)k=1時(shí)，原方程為，△＜0，不合題意．
當(dāng)時(shí)，原方程為，x₁，x₂∈（0，1），符合題意．
∵，
∴，，
從而 {a_n-1}是等比數(shù)列，
∴T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹+n==2ⁿ⁺²+n-4．
點(diǎn)評(píng)：本題是一元二次方程與三角函數(shù)相結(jié)合的題目，由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式，正確理解一元二次方程的根的判別式以及銳角三角函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．