Question

一家醫(yī)藥研究所，從中草藥中提取并合成了甲、乙兩種抗“H病毒”的藥物，經(jīng)試驗(yàn)，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為

1

2

，

1

3

，現(xiàn)已進(jìn)入藥物臨床試用階段，每個(gè)試用組由4位該病毒的感染者組成，其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物，如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)人數(shù)超過(guò)乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”，
（1）求一個(gè)試用組為“甲類組”的概率；
（2）觀察3個(gè)試用組，用η表示這3個(gè)試用組中“甲類組”的個(gè)數(shù)，求η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）設(shè)A_i表示事件“一個(gè)試用組中，服用甲種抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，B_j表示事件“一個(gè)試用組中，服用乙種抗病毒藥物有效的有j人”，j=0，1，2，一個(gè)試用組為“甲類組”的概率P=P（B₀A₁）+P（B₀A₂）+P（B₁A₂），由此能求出結(jié)果．
（2）η的可能取值為0，1，2，3，且η～B（3，

4

9

），由此能求出η的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）設(shè)A_i表示事件“一個(gè)試用組中，服用甲種抗病毒有效的有i人”，i=0，1，2，
B_j表示事件“一個(gè)試用組中，服用乙種抗病毒藥物有效的有j人”，j=0，1，2，
依題意有P（A₁）=2×

1

2

×

1

2

=

1

2

，P（A₂）=

1

2

×

1

2

=

1

4

，
P（B₀）=

2

3

×

2

3

=

4

9

，P（B₁）=2×

1

3

×

2

3

=

4

9

，
∴一個(gè)試用組為“甲類組”的概率：
P=P（B₀A₁）+P（B₀A₂）+P（B₁A₂）
=

4

9

×

1

2

+

4

9

×

1

4

+

4

9

×

1

4

=

4

9

．
（2）η的可能取值為0，1，2，3，
且η～B（3，

4

9

），
∴P（η=0）=

C

0 3

(1-

4

9

)3=

125

729

，
P（η=1）=

C

1 3

(

4

9

)(1-

4

9

)2=

100

243

，
P（η=2）=

C

2 3

(

4

9

)2(1-

4

9

)=

80

243

，
P（η=3）=（

4

9

）³=

64

729

，
∴η的分布列為：

η	0	1	2	3
P	125 729	100 243	80 243	64 729

∵η～B（3，

4

9

），∴Eη=3×

4

9

=

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查概率、隨機(jī)變量分布列以及數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的能力，考查數(shù)據(jù)處理能力．