Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式：

1

n

+

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n2

＞1（n∈N^*且n＞1）．

Answer 1

分析：直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明不等式，（1）驗(yàn)證n=2時(shí)不等式成立；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)成立，利用放縮法證明n=k+1時(shí)，不等式也成立．

解答：證明：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=

1

2

+

1

3

+

1

4

=

13

12

＞1，∴n=2時(shí)成立（2分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)成立，即

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

k2

＞1
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

(k+1)2

=

1

k

+

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

k2+2k

+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

1

k2+1

+

1

k2+2

+…+

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+(2k+1)•

1

(k+1)2

-

1

k

＞1+

k2-k-1

k2+2k+1

＞1
∴n=k+1時(shí)也成立（7分）
根據(jù)（1）（2）可得不等式對(duì)所有的n＞1都成立（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，注意不等式的證明方法，放縮法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力．