已知不等式[log2n]?,其中n為大于2的整數(shù),[log2n]表示不超過log2n的最大整數(shù),設(shè)數(shù)列{an}的各項為正,且滿足a1=b(b>0),an,n=2,3,4,….?

(1)證明an,n=3,4,5,….?

(2)猜測數(shù)列{an}是否有極限?如果有,寫出極限的值(不必證明).?

(3)試確定一個正整數(shù)N,使得當(dāng)nN時,對任意b>0,都有an.

解析:(1)證法一:∵當(dāng)n≥2時,0<,?

,?

.?

于是有?

, ,…,.?

由不等式兩邊相加可得?

.?

由已知不等式知,當(dāng)n≥3時有?

log2n].?

a1=b,?

log2n]=,an.?

證法二:設(shè)f(n)=++…+,首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式an,n=3,4,5,….

①n=3時,由a3,?

知不等式成立.?

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時,不等式成立,?

ak,?

ak+1?

=

=

=

=,?

即當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.?

由①②知,an,n=3,4,5,….??

又由已知不等式得?

an,n=3,4,5,….?

(2)有極限,且an=0.?

(3)∵,?

,?

則有log2n≥[log2n]>10?

n>210 =1 024,?

故取N=1 024,可使當(dāng)n>N時,都有an.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=log2(1+x4)-
1+mx1+x2
(x∈R)是偶函數(shù).
(Ⅰ)求實常數(shù)m的值,并給出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(不要求證明);
(Ⅱ)k為實常數(shù),解關(guān)于x的不等式:f(x+k)>f(|3x+1|).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式x2-4x+3<0的解集是A.
(Ⅰ)求集合A;
(Ⅱ)函數(shù)f(x)=log2(a-x)(a∈R)的定義域為集合B,若A⊆B,求a的取值范圍;
(Ⅲ)不等式ax2-2x-2a>0(a∈R且a≠0)的解集為C,若A∩C≠φ,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式x2-5x-6≤0的解集是A,函數(shù)f(x)=log2(a-x)的定義域為集合B.
(1)求集合A;
(2)若A∩B=A,求a的取值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集是{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b的值;
(2)解不等式
c-xax+b
>0(c為常數(shù)).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知不等式log2(ax2-3x+6)>2的解集{x|x<1或x>2}
(1)求a的值;
(2)設(shè)k為常數(shù),求f(x)=
x2+k+a
x2+k
的最小值.

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