已知有窮數(shù)列A:a1,a2,…,an,(n≥2).若數(shù)列A中各項都是集合{x|-1<x<1}的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列A,定義如下操作過程T:從A中任取兩項ai,aj,將的值添在A的最后,然后刪除ai,aj,這樣得到一個n-1項的新數(shù)列A1(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列).若A1還是數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程T,得到的新數(shù)列記作A2,…,如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak
(Ⅰ)設(shè)A:0,,…請寫出A1的所有可能的結(jié)果;
(Ⅱ)求證:對于一個n項的數(shù)列A操作T總可以進行n-1次;
(Ⅲ)設(shè)A:-,-,-,-,,,…求A9的可能結(jié)果,并說明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)直接按定義來操作,每次取兩個數(shù)代入計算即可求出A1的所有可能的結(jié)果;
(Ⅱ)先通過作差得到每次操作后新數(shù)列仍是T數(shù)列;再根據(jù)每次操作中都是增加一項,刪除兩項即可得到結(jié)論;
(Ⅲ)先定義運算:a⊙b=,并證明這種運算滿足交換律和結(jié)合律;再結(jié)合(Ⅱ)可知A9中僅有一項,再按定義先求出A5,綜合即可得到A9的可能結(jié)果.
解答:解:(Ⅰ)直接按定義來操作,當取0,時代入計算可得:,
當取0,時可得A1,
當取,時,可得A1:0,
故有如下的三種可能結(jié)果:,;A1;A1:0,.…(3分)
(Ⅱ)因為對?a,b∈{x|-1<x<1},有
0且
所以{x|-1<x<1},
即每次操作后新數(shù)列仍是T數(shù)列.
又由于每次操作中都是增加一項,刪除兩項,
所以對T數(shù)列A每操作一次,項數(shù)就減少一項,
所以對n項的T數(shù)列A可進行(n-1)次操作(最后只剩下一項)…(7分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知A9中僅有一項.
對于滿足a,b∈{x|-1<x<1}的實數(shù)a,b定義運算:a⊙b=,
下面證明這種運算滿足交換律和結(jié)合律.
因為a⊙b=,且b⊙a=,所以a⊙b=b⊙a,即該運算滿足交換律;
因為a⊙(b⊙c)=a⊙=
且(a⊙b)⊙c=c=
所以a⊙(b⊙c)=(a⊙b)⊙c,即該運算滿足結(jié)合律.
所以A9中的項與實施的具體操作過程無關(guān)   ….….(12分)
選擇如下操作過程求A9
由(Ⅰ)可知=;
易知-=0,-=0,-=0,-=0;
所以A5,0,0,0,0.;
易知A5經(jīng)過4次操作后剩下一項為
綜上可知:A9.…(14分)
點評:本題是一道綜合性很強的題,解題時要認真審題,理解定義,并會用新定義來解題,仔細解答,避免錯誤.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知有窮數(shù)列A:a1,a2,…,an(n≥2,n∈N).定義如下操作過程T:從A中任取兩項ai,aj,將
ai+aj
1+aiaj
的值添在A的最后,然后刪除ai,aj,這樣得到一系列n-1項的新數(shù)列A1 (約定:一個數(shù)也視作數(shù)列);對A1的所有可能結(jié)果重復(fù)操作過程T又得到一系列n-2項的新數(shù)列A2,如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak.設(shè)A:-
5
7
,
3
4
,
1
2
1
3
,則A3的可能結(jié)果是( 。
A、0
B、
3
4
C、
1
3
D、
1
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知有窮數(shù)列A:a1,a2,…,an,(n≥2).若數(shù)列A中各項都是集合{x|-1<x<1}的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.對于數(shù)列A,定義如下操作過程T:從A中任取兩項ai,aj,將
ai+aj
1+aiaj
的值添在A的最后,然后刪除ai,aj,這樣得到一個n-1項的新數(shù)列A1(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列).若A1還是數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程T,得到的新數(shù)列記作A2,…,如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak
(Ⅰ)設(shè)A:0,
1
2
,
1
3
…請寫出A1的所有可能的結(jié)果;
(Ⅱ)求證:對于一個n項的數(shù)列A操作T總可以進行n-1次;
(Ⅲ)設(shè)A:-
5
7
,-
1
6
,-
1
5
,-
1
4
,
5
6
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
,
1
6
…求A9的可能結(jié)果,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:北京模擬題 題型:解答題

已知有窮數(shù)列A:a1,a2,…,an,(n≥2),若數(shù)列A中各項都是集合{x|-1<x<1}的元素,則稱該數(shù)列為Γ數(shù)列。對于Γ數(shù)列A,定義如下操作過程T:從A中任取兩項ai,aj,將的值添在A的最后,然后刪除ai,aj,這樣得到一個n-1項的新數(shù)列A1(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列)。若A1還是Γ數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程T,得到的新數(shù)列記作A2,…,如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak,
(Ⅰ)設(shè)A:0,,請寫出A1的所有可能的結(jié)果;
(Ⅱ)求證:對于一個n項的Γ數(shù)列A操作T總可以進行n-1次;
(Ⅲ)設(shè)A:,求A9的可能結(jié)果,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年上海市靜安、楊浦、青浦、寶山區(qū)高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知有窮數(shù)列A:a1,a2,…,an(n≥2,n∈N).定義如下操作過程T:從A中任取兩項ai,aj,將的值添在A的最后,然后刪除ai,aj,這樣得到一系列n-1項的新數(shù)列A1 (約定:一個數(shù)也視作數(shù)列);對A1的所有可能結(jié)果重復(fù)操作過程T又得到一系列n-2項的新數(shù)列A2,如此經(jīng)過k次操作后得到的新數(shù)列記作Ak.設(shè)A:,則A3的可能結(jié)果是( )
A.0
B.
C.
D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案