Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的函數(shù)，有f（2）=1，對(duì)于任意的x＞0，y＞0，都有f（xy）=f（x）+f（y），且滿足當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞0成立．
（1）求f（1）、f（4）的值；    
（2）求滿足f（x）+f（x-3）＞2的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別令x=y=1，及x=y=2，即可求出函數(shù)值f（1），f（4）．
（2）先利用已知條件證明此函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性把自變量解放出來，從而求出x的取值范圍．

解答：解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0．
令x=y=2，則f（2×2）=f（2）+f（2），∴f（4）=2f（2）=2×1=2．
（2）下面先證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
證明：任取x₁，x₂滿足0＜x₁＜x₂，則

x2

x1

＞1，由已知得f(

x2

x1

)＞0．
∴f（x₂）=f(

x2

x1

×x1)=f(

x2

x1

)+f（x₁）＞f（x₁），即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）是單調(diào)遞增．
∵f（x）+f（x-3）=f（x²-3x）＞2=f（4），∴x²-3x＞4，解得x＞4，或x＜-1，
而已知x＞0，∴x＜-1應(yīng)舍去，
故x的取值范圍是x＞4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了抽象函數(shù)的求值及利用其單調(diào)性求自變量的取值范圍，充分理解抽象函數(shù)的條件和恰當(dāng)?shù)娜≈凳墙忸}的關(guān)鍵．