【題目】對于定義域為D的函數(shù)y=f(x),如果存在區(qū)間[m,n]D,同時滿足: ①f(x)在[m,n]內(nèi)是單調(diào)函數(shù);
②當定義域是[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n].
則稱[m,n]是該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.
(1)證明:[0,1]是函數(shù)y=f(x)=x2的一個“和諧區(qū)間”.
(2)求證:函數(shù) 不存在“和諧區(qū)間”.
(3)已知:函數(shù) (a∈R,a≠0)有“和諧區(qū)間”[m,n],當a變化時,求出n﹣m的最大值.

【答案】
(1)解:∵y=x2在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增.

又f(0)=0,f(1)=1,

∴值域為[0,1],

∴區(qū)間[0,1]是y=f(x)=x2的一個“和諧區(qū)間”


(2)解:設[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.

∵x≠0,[m,n](﹣∞,0)或[m,n](0,+∞),

故函數(shù) 在[m,n]上單調(diào)遞增.

若[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則

故m、n是方程 的同號的相異實數(shù)根.

∵x2﹣3x+5=0無實數(shù)根,

∴函數(shù) 不存在“和諧區(qū)間”.


(3)解:設[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集.

∵x≠0,[m,n](﹣∞,0)或[m,n](0,+∞),

故函數(shù) 在[m,n]上單調(diào)遞增.

若[m,n]是已知函數(shù)的“和諧區(qū)間”,則

故m、n是方程 ,即a2x2﹣(a2+a)x+1=0的同號的相異實數(shù)根.

,

∴m,n同號,只須△=a2(a+3)(a﹣1)>0,即a>1或a<﹣3時,

已知函數(shù)有“和諧區(qū)間”[m,n],

,

∴當a=3時,n﹣m取最大值


【解析】(1)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),我們可以得出y=f(x)=x2在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,且值域也為[0,1]滿足“和諧區(qū)間”的定義,即可得到結論.(2)該問題是一個確定性問題,從正面證明有一定的難度,故可采用反證法來進行證明,即先假設區(qū)間[m,n]為函數(shù)的“和諧區(qū)間”,然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到矛盾,進而得到假設不成立,原命題成立.(3)設[m,n]是已知函數(shù)定義域的子集,我們可以用a表示出n﹣m的取值,轉化為二次函數(shù)的最值問題后,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可以得到答案.

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