已知元素為實(shí)數(shù)的集合S滿足下列條件:①1、0∉S;②若a∈S,則
11-a
∈S

(1)若{2,-2}⊆S,求使元素個(gè)數(shù)最少的集合S;
(2)若非空集合S為有限集,則你對(duì)集合S的元素個(gè)數(shù)有何猜測?并請(qǐng)證明你的猜測正確.
分析:(1)根據(jù)條件若a∈S,則
1
1-a
∈S
,分別利用2,-2∈S,進(jìn)行推導(dǎo).(2)要使非空集合S為有限集,則集合元素具備一定規(guī)律性,利用規(guī)律性進(jìn)行判斷.
解答:解:(1)2∈S⇒
1
1-2
=-1∈S⇒
1
1-(-1)
=
1
2
∈S⇒
1
1-
1
2
=2∈S
;----(2分)
-2∈S⇒
1
1-(-2)
=
1
3
∈S⇒
1
1-
1
3
=
3
2
∈S⇒
1
1-
3
2
=-2∈S
--------------(3分)
∴使{2,-2}?S的元素個(gè)數(shù)最少的集合S為{2,-1,
1
2
,-2,
1
3
,
3
2
}
------------(4分)
(2)設(shè)a∈S,則a≠0,1且a∈S⇒
1
1-a
∈S⇒
1
1-
1
1-a
=
a-1
a
∈S⇒
1
1-
a-1
a
=a∈S
(*)
由于a=
1
1-a
?a2-a+1=0(a≠1)
,但a2-a+1=0無實(shí)數(shù)根
a≠
1
1-a
同理
1
1-a
a-1
a
,
a-1
a
≠a
{a,
1
1-a
,
a-1
a
}⊆S
---------------------------------(7分)
若存在b∈S,而b∉{a,
1
1-a
,
a-1
a
}
,則{b,
1
1-b
b-1
b
}⊆S
{a,
1
1-a
,
a-1
a
}∩{b,
1
1-b
,
b-1
b
}=∅

(若{b,
1
1-b
,
b-1
b
}
中有元素∈{a,
1
1-a
,
a-1
a
}
,
則利用前述的(*)式可知b∈{a,
1
1-a
,
a-1
a
}

于是{a,
1
1-a
,
a-1
a
,b,
1
1-b
b-1
b
}⊆S
------------------------------------------------(9分)
上述推理還可繼續(xù),由于S為有限集,故上述推理有限步可中止
∴S的元素個(gè)數(shù)為3的倍數(shù).--------------------------------------------------------(10分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查集合元素的確定,利用條件進(jìn)行推導(dǎo)元素是解決本題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的推理和分析能力.
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1-a
∈A
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A.-1
B.1
C.0
D.±1

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