Question

已知圓C：x²+y²-2x-2y-2=0，其圓心為C，過點(diǎn)P（2，3）作一直線l；
（1）若直線l和圓C有交點(diǎn)，這該直線斜率的取值范圍是多少？
（2）若直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，弦AB所對(duì)的圓心角為

2π

3

，求該直線的方程．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心C的坐標(biāo)和半徑r，
（1）先求過P的切線方程，設(shè)過P與圓相切的方程的斜率為k，表示出切線的方程，由直線與圓相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值，故由直線l與圓C有交點(diǎn)，得到直線斜率的取值范圍；
（2）取AB得中點(diǎn)為M，連接CM，根據(jù)垂徑定理得到CM與AB垂直，由∠ACB的度數(shù)為

2π

3

求出∠ACM的度數(shù)為

π

3

，由AC的長得一半求出CM的長，即為C到AB的距離，當(dāng)直線方程的斜率存在時(shí)，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到此時(shí)k的值，確定出直線的方程；當(dāng)直線方程的斜率不存在時(shí)，顯然x=2滿足題意，綜上，得到所有滿足題意的直線方程．

解答：解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）2+（y-1）2=4，
可得圓C的圓心坐標(biāo)為（1，1），半徑為2，
（1）設(shè)過P（2，3）的切線方程為y-3=k（x-2），即kx-y-2k+3=0，
由圓心到直線的距離為d=

|k-1-2k+3|

1+k2

=2，解得k=0或-

4

3

，
所以若直線l與圓C有交點(diǎn)，該直線斜率的取值范圍是（-∞，-

4

3

]∪[0，+∞）；
（2）取AB得中點(diǎn)為M，連接CM，則CM⊥AB，
由∠ACB=

2π

3

，有∠ACM=

π

3

，
由于AC=r=2，所以CM=1，即C到AB的距離為1，
當(dāng)直線方程的斜率存在時(shí)，則有d=

|k-1-2k+3|

1+k2

=1，解得k=

3

4

，
此時(shí)直線方程為3x-4y+6=0，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線為x=2，點(diǎn)（1，1）到它的距離為1，也滿足題意，
綜上，直線方程為3x-4y+6=0或x=2．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：直線的斜截式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)，利用了轉(zhuǎn)化及分類討論的思想，直線與圓的位置關(guān)系可以用d與r的大小關(guān)系來判斷，當(dāng)0≤d＜r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d＞r時(shí)，直線與圓相離．