Question

如圖△ABC中，AC=BC=

2

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AB，四邊形ABED是邊長(zhǎng)為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：GF∥平面ABC；
（2）求證：平面EBC⊥平面ACD；
（3）求幾何體ADEBC的體積V．

Answer 1

分析：（1）取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH．通過(guò)證明GF所在的平面HGF，平面HGF∥平面ABC．然后說(shuō)明GF∥平面ABC；
（2）通過(guò)證明AC⊥平面BCE，AC?平面ACD，然后證明平面EBC⊥平面ACD；
（3）取AB的中點(diǎn)N，連接CN，說(shuō)明CN⊥平面ABED，求出底面面積，即可求解幾何體ADEBC的體積V．

解答：解：
（1）證明：如圖，取BE的中點(diǎn)H，連接HF，GH．
∵G，F(xiàn)分別是EC和BD的中點(diǎn)，
∴HG∥BC，HF∥DE．
又∵四邊形ADEB為正方形，
∴DE∥AB，從而HF∥AB．
∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC．
∴平面HGF∥平面ABC．
∴GF∥平面ABC．
（2）證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB．
又∵平面ABED⊥平面ABC，
∴BE⊥平面ABC．
∴BE⊥AC．
又∵CA²+CB²=AB²，∴AC⊥BC．
∴AC⊥平面BCE．
從而平面EBC⊥平面ACD．
（3）取AB的中點(diǎn)N，連接CN，∵AC=BC，
∴CN⊥AB，且CN=

1

2

AB=

1

2

a．
又平面ABED⊥平面ABC，
∴CN⊥平面ABED．
∵C-ABED是四棱錐，
∴V_C-ABED=

1

3

S_ABED•CN=

1

3

a²•

1

2

a=

1

6

a³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行平面與平面垂直，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．