Question

如圖△ABC中，AC＝BC＝AB，四邊形ABED是邊長為a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G、F分別是EC、BD的中點．

 (1)求證：GF∥平面ABC；

(2)求證：平面EBC⊥平面ACD；

(3)求幾何體ADEBC的體積V.

Answer 1

解：

(1)證明：如圖，取BE的中點H，連接HF，GH.

∵G，F分別是EC和BD的中點，

∴HG∥BC，HF∥DE.

又∵四邊形ADEB為正方形，

∴DE∥AB，從而HF∥AB.

∴HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.

∴平面HGF∥平面ABC.

∴GF∥平面ABC.

(2)證明：∵ADEB為正方形，∴EB⊥AB.

又∵平面ABED⊥平面ABC，

∴BE⊥平面ABC.

∴BE⊥AC.

又∵CA²＋CB²＝AB²，∴AC⊥BC.

∴AC⊥平面BCE.

從而平面EBC⊥平面ACD.

(3)取AB的中點N，連接CN，∵AC＝BC，

∴CN⊥AB，且CN＝AB＝a.

又平面ABED⊥平面ABC，

∴CN⊥平面ABED.

∵C－ABED是四棱錐，

∴V_C－ABED＝S_ABED·CN＝a²·a＝a³.