Question

【題目】企業(yè)為了監(jiān)控某種零件的一條流水生產(chǎn)線的產(chǎn)品質(zhì)量，檢驗員從該生產(chǎn)線上隨機抽取100個零件，測量其尺寸（單位：）并經(jīng)過統(tǒng)計分析，得到這100個零件的平均尺寸為10，標準差為0.5.企業(yè)規(guī)定：若，該零件為一等品，企業(yè)獲利20元；若且，該零件為二等品，企業(yè)獲利10元；否則，該零件為不合格品，企業(yè)損失40元.

（1）在某一時刻內(nèi)，依次下線10個零件，如果其中出現(xiàn)了不合格品，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查若這10個零件的尺寸分別為9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，則從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？

（2）將樣本的估計近似地看作總體的估計通過檢驗發(fā)現(xiàn)，該零件的尺寸服從正態(tài)分布.其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.

（i）從下線的零件中隨機抽取20件，設其中為合格品的個數(shù)為，求的數(shù)學期望（結(jié)果保留整數(shù)）

（ii）試估計生產(chǎn)10000個零件所獲得的利潤.

附：若隨機變量服從正態(tài)分布,則，，.

Answer 1

【答案】（1）不需要；（2）（i）19；（ii）145460元.

【解析】

(1)根據(jù)數(shù)據(jù)直接判斷即可；

(2)（i）根據(jù)題意先計算出合格品的概率，結(jié)合隨機變量是服從正態(tài)分布，直接用正態(tài)分布的期望公式即可；

（ii）根據(jù)條件計算出一等品、二等品的概率，再計算出一等品和二等品的數(shù)量以及不合格的數(shù)量，從而可估算出所獲得的利潤.

解：（1）由于這10個零件的尺寸都在內(nèi)．所以不需要對當天的生產(chǎn)過程進行檢查．

（2）（i）因為合格品的尺寸范圍為．所以抽取1個零件為合格品的概率為

．

由題意．得．所以．

（ii）10000個零件中，一等品約為（個），

二等品約為（個），

不合格品約為（個）.

生產(chǎn)10000個零件，估計所獲得的利潤為（元）．