Question

已知向量

a

=（1，2），

b

=（1，-1）．
（1）若θ為向量2

a

+

b

與向量

a

-

b

的夾角，求θ的值；
（2）若向量2

a

+

b

與向量k

a

+

b

垂直，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角,數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得2

a

+

b

和

a

-

b

的坐標(biāo)，進(jìn)而可得|2

a

+

b

|和|

a

-

b

|以及（2

a

+

b

）•（

a

-

b

），代入夾角公式可得cosθ，可得答案；
（2））同理可得2

a

+

b

和k

a

+

b

的坐標(biāo)，由垂直關(guān)系可得k的方程，解方程可得．

解答： 解：（1）∵

a

=（1，2），

b

=（1，-1）．
∴2

a

+

b

=（3，3），

a

-

b

=（0，3），
∴|2

a

+

b

|=3

2

，|

a

-

b

|=3，（2

a

+

b

）•（

a

-

b

）=9，
∴cosθ=

(2 a + b )•( a - b )

|2 a + b || a - b |

=

9

3 2 ×3

=

2

2

，
∵θ∈[0，π]，∴θ=

π

4

（2））∵

a

=（1，2），

b

=（1，-1）．
∴2

a

+

b

=（3，3），k

a

+

b

=（k-1，2k+1），
∵向量2

a

+

b

與向量k

a

+

b

垂直，
∴（2

a

+

b

）•（k

a

+

b

）=0，
∴3（k-1）+3（2k+1）=0，
解得k=0

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積和夾角，以及垂直關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．