Question

已知函數(shù)f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函數(shù)，且滿足f（1）=f（4）
（1）求實數(shù)a，b的值；
（2）試指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（不必證明），并用定義法證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]的單調(diào)性；
（3）是否存在實數(shù)k同時滿足以下兩個條件：
①不等式f（x）+

k

2

＞0對x∈（0，+∞）恒成立；
②方程f（x）=k在x∈[-6，-1]上有解．若存在，試求出實數(shù)k的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)最值的應用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的判斷

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用f（1）=f（4），求出b的值，利用f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函數(shù)，求出a的值；
（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；
（3）分別求出滿足兩個條件的實數(shù)k的取值范圍，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由f（1）=f（4）得1+a+b=

16+4a+b

4

，解得b=4，（2分）
由f（x）=

x2+ax+b

x

（x≠0）是奇函數(shù)，得

x2-ax+b

-x

+

x2+ax+b

x

=0，
∴2a=0，
∴a=0；          （5分）
（2）由（1）知，f（x）=x+

4

x

，任取x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•

x1x2-4

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，2]，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，

x1x2-4

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），（8分）
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2]單調(diào)遞減；                  （9分）
類似地，可證f（x）在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞增．
（3）對于條件①：
由（2）可知函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上有最小值f（2）=4  （10分）
故若f（x）+

k

2

＞0對x∈（0，+∞）恒成立，
則需4＞-

k

2

，∴k＞-8；                  （11分）
對于條件②：由（2）可知函數(shù)f（x）在（-∞，-2）單調(diào)遞增，
在[-2，0）單調(diào)遞減，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-2]單調(diào)遞增，在[-2，-1]單調(diào)遞減，（12分）
又f（-6）=-

20

3

，f（-2）=-4，f（-1）=-5，
∴函數(shù)f（x）在[-6，-1]上的值域為[-

20

3

，-4]，（13分）
若方程f（x）=k在[-6，-1]有解，則需-

20

3

≤k≤-4，
若同時滿足條件①②，則需-

20

3

≤k≤-4．
故當-

20

3

≤k≤-4時，條件①②同時滿足．                 （15分）

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．