Question

設(shè)向量，，m∈R，且
（1）把y表示成x的函數(shù)y=f（x）；
（2）若tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個(gè)實(shí)根，A，B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，求tanC的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵向量，，m∈R，且
∴[m（x+1）-1]（x+1）-y=0 2’
y=f（x）=mx²+（2m-1）x+m-1 4’
（2）由題意A，B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角
∴tanC=-tan（A+B）
∵tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個(gè)實(shí)根
∴ 8’
tanA+tanB=，tanAtanB=
∴
∴tanC=1-2m 9’
A，B是三角形的內(nèi)角，至多一個(gè)為鈍角，tanA，tanB中至多有一個(gè)取負(fù)值，且都不為零
若都為正，由韋達(dá)定理tanA+tanB=＞0，得，又，可得，故有tanC=1-2m 10’
若一正一負(fù)，由韋達(dá)定理tanAtanB=＜0，可得-1＜m＜0，故有tanC∈（1，3）11’
綜上 12’
分析：（1）由題意，，，m∈R，且，利用內(nèi)積為0可得出關(guān)于y與x的方程，再用x表示出y即可得到函數(shù)y=f（x）；
（2）由于tanC=-tan（A+B），結(jié)合公式及tanA，tanB是方程f（x）+2=0的兩個(gè)實(shí)根利用根與系數(shù)的關(guān)系即可將tanC用m表示出來，再由題設(shè)條件求出m的取值范圍，即可求出tanC的取值范圍
點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是平面向量的綜合題，考查了數(shù)量積的運(yùn)算，正切的和角公式，根與系數(shù)的關(guān)系等，解題的關(guān)鍵是理解題意，將問題正確轉(zhuǎn)化，本題的難點(diǎn)是對(duì)參數(shù)取值范圍的討論，易因?yàn)闆]有考慮方程兩根tanA，tanB的符號(hào)導(dǎo)致擴(kuò)大了范圍，產(chǎn)生錯(cuò)誤，解題時(shí)要注意通盤考慮題詞設(shè)中的限制條件，等價(jià)轉(zhuǎn)化，考察了轉(zhuǎn)化的思想方程的思想及分類討論的思想，本題綜合性強(qiáng)，難度較大，有一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)做題的好習(xí)慣可避免出錯(cuò)