設(shè)等差數(shù)列{an}滿足:
sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6
sin(a4+a5)
=1
,公差d∈(-1,0),若當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取最大值,則首項(xiàng)a1的取值范圍為
3
,
2
3
2
分析:利用三角函數(shù)的倍角公式、積化和差與和差化積公式化簡(jiǎn)已知的等式,根據(jù)公差d的范圍求出公差的值,代入前n項(xiàng)和公式后利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸的范圍求解首項(xiàng)a1取值范圍.
解答:解:由
sin2a3-cos2a3+cos2a3cos2a6-sin2a3sin2a6
sin(a4+a5)
=1

得:
-cos2a3+(cosa3cosa6-sina3sina6)(cosa3cosa6+sina3sina6)
sin(a4+a5)
=1,
-cos2a3+cos(a3+a6)cos(a3-a6)
sin(a4+a5)
=1,
由積化和差公式得:
1
2
cos2a3+
1
2
cos2a6-cos2a3
sin(a4+a5)
=1,
整理得:
1
2
(cos2a6-cos2a3)
sin(a4+a5)
=1
,
1
2
×(-2)sin(a6+a3)sin(a6-a3)
sin(a4+a5)
-1
,
∴sin(3d)=-1.
∵d∈(-1,0),∴3d∈(-3,0),
則3d=-
π
2
,d=-
π
6

Sn=na1+
n(n-1)d
2
=na1+
n(n-1)•(-
π
6
)
2

=-
π
12
n2+(a1+
π
12
)n

對(duì)稱軸方程為n=
6
π
(a1+
π
12
)

由題意當(dāng)且僅當(dāng)n=9時(shí),數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值,
17
2
6
π
(a1+
π
12
)<
19
2
,解得:
3
a1
2

∴首項(xiàng)a1的取值范圍是(
3
,
2
).
故答案為(
3
2
).
點(diǎn)評(píng):本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了與三角函數(shù)有關(guān)的公式,考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,訓(xùn)練了二次函數(shù)取得最值得條件,考查了計(jì)算能力,是中檔題.
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364
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20
20
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