Question

【題目】如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S，則下列命題正確的是______（寫出所有正確命題的編號(hào)）．

①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足；④當(dāng)時(shí)，S為五邊形；⑤當(dāng)時(shí)，S的面積為．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

利用空間幾何元素的位置關(guān)系和截面的性質(zhì)逐一分析推理判斷每一個(gè)命題的真假得解.

對(duì)于①，由圖1知，

當(dāng)點(diǎn)Q向C移動(dòng)時(shí)，滿足0＜CQ＜1，只需在DD1上取點(diǎn)M，且滿足AM∥PQ，

則截面圖形為四邊形APQM，∴①正確；

對(duì)于②，當(dāng)CQ=1時(shí)，即Q為CC1中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD1，AP=QD1=，

可得截面APQD1為等腰梯形，∴②正確；

對(duì)于③，當(dāng)CQ=時(shí)，如圖2所示，

延長(zhǎng)DD1至N，使D1N=1，連接AN交A1D1于S，連接NQ交C1D1于R，連接SR，

可證AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，可得C1R=，D1R=，∴③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，只需點(diǎn)Q上移，此時(shí)的截面形狀仍然上圖所示的APQRS，是五邊形，④正確；

對(duì)于⑤，當(dāng)CQ=2時(shí)，Q與C1重合，取A1D1的中點(diǎn)F，連接AF，可證PC1∥AF，且PC1=AF，

可知截面為APC1F為菱形，且面積為AC1PF=2，⑤錯(cuò)誤；

綜上可得：正確命題的序號(hào)為①②④．

故答案為：①②④．