【題目】已知點(diǎn)A(0,﹣2),橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,F(xiàn)是橢圓的焦點(diǎn),直線AF的斜率為 ,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)求E的方程;
(Ⅱ)設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.

【答案】解:(Ⅰ) 設(shè)F(c,0),由條件知 ,得 ,
所以a=2,b2=a2﹣c2=1,故E的方程
(Ⅱ)依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意,故設(shè)直線l:y=kx﹣2,設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2
將y=kx﹣2代入 ,得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,
當(dāng)△=16(4k2﹣3)>0,即 時(shí),
從而
又點(diǎn)O到直線PQ的距離 ,所以△OPQ的面積 = ,
設(shè) ,則t>0,
當(dāng)且僅當(dāng)t=2,k=± 等號成立,且滿足△>0,
所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí),l的方程為:y= x﹣2或y=﹣ x﹣2
【解析】(Ⅰ)通過離心率得到a、c關(guān)系,通過A求出a,即可求E的方程;(Ⅱ)設(shè)直線l:y=kx﹣2,設(shè)P(x1 , y1),Q(x2 , y2)將y=kx﹣2代入 ,利用△>0,求出k的范圍,利用弦長公式求出|PQ|,然后求出△OPQ的面積表達(dá)式,利用換元法以及基本不等式求出最值,然后求解直線方程.

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)設(shè)函數(shù),且,求證:

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