Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．

（Ⅰ）證明：平面ADB⊥平面BDC；
（Ⅱ）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，求

AE

與

DB

夾角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）翻折后，直線AD與直線DC、DB都垂直，可得直線與平面BDC垂直，再結(jié)合AD是平面ADB內(nèi)的直線，可得平面ADB與平面垂直；
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出D、B、C、A、E的坐標(biāo)，從而得出向量

AE

、

DB

的坐標(biāo)，最后根據(jù)空間向量夾角余弦公式，計(jì)算出

AE

與

DB

夾角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC邊上的高，
∴當(dāng)△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，
又DB∩DC=D，
∴AD⊥平面BDC，
∵AD?平面ADB
∴平面ADB⊥平面BDC
（Ⅱ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC兩兩垂直，
不防設(shè)|DB|=1，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別以

DB

、

DC

、

DA

所在直線x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），
A（0，0，

3

），E（

1

2

，

3

2

，0），
∴

AE

=(

1

2

，

3

2

，-

3

)，

DB

=（1，0，0），
∴

AE

與

DB

夾角的余弦值為
cos＜

AE

，

DB

＞=

AE • DB

| AE |•| DB |

=

1 2

1× 22 4

=

22

22

．

點(diǎn)評：圖中DA、DB、DC三條線兩兩垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，將空間的幾何關(guān)系的求解化為代數(shù)計(jì)算問題，使立體幾何的計(jì)算變得簡單．