Question

如圖，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE=2cm，
AD=4cm．
（1）求：⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；
（2）計(jì)算：△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）由切割線定理知，AD²=AE•AB=AE（AE+BE），由此可求得BE的長(zhǎng)；
（2）由切線長(zhǎng)定理知，CD=BC，由勾股定理知，AB²+BC²=AC²即8²+BC²=（4+BC）²，解得BC=6，則可由直角三角形的面積公式求得△ABC的面積．

解答：解：（1）∵AD是切線，AEB是圓的割線，
∴AD²=AE•AB=AE（AE+BE），解得BE=6cm；
（2）∵∠B=90°，
∴CB也是圓的切線，
∵CD也是圓的切線，則有CD=BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB²+BC²=AC²即8²+BC²=（4+BC）²，解得BC=6cm，
∴S_△ABC=

1

2

AB•BC=24cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題利用了切割線定理、切線長(zhǎng)定理、勾股定理、切線的判定和性質(zhì)、直角三角形的面積公式求解．