Question

已知△ABC的面積S滿足

3

2

≤S≤

3

2

，且

AB

•

BC

=3，

AB

與

BC

的夾角為θ．
（1）求θ的取值范圍；
（2）求函數(shù)f(θ)=3sin2θ+2

3

sinθ•cosθ+cos2θ的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（1）由條件求得

3

3

≤tanθ≤1，再根據(jù)0≤θ≤π，從而求出θ的取值范圍．
（2）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式花簡函數(shù)f（θ）的解析式為2sin（2θ-

π

6

）+2，根據(jù)

π

6

≤θ≤

π

4

，求得2θ-

π

6

 的范圍，從而求得sin（2θ-

π

6

）的范圍，從而求出f（θ）的最大值和最小值．

解答：解：（1）因為

AB

•

BC

=3，

AB

與

BC

的夾角為θ，所以，|

AB

|•|

BC

|•cosθ=3．
S=|

AB

|•|

BC

|•sin(π-θ)=

1

2

|

AB

|•|

BC

|•sinθ．   （3分）
又

3

2

≤S ≤

3

2

，所以，

3

2

≤

3

2

•tanθ≤

3

2

，即

3

3

≤tanθ≤1，
又0≤θ≤π，所以，

π

6

≤θ≤

π

4

．                                             （6分）
（2）函數(shù)f(θ)=3sin2θ+2

3

sinθ•cosθ+cos2θ=2sin²θ+

3

sin2θ+1
=

3

sin2θ-cos2θ+2=2sin（2θ-

π

6

）+2，----（9分）
因為

π

6

≤θ≤

π

4

，所以

π

6

≤2θ-

π

6

≤

π

3

，（10分）
從而當 θ=

π

6

 時，f（θ）取得最小值為3，
當 θ=

π

4

時，f（θ）取得最大值為

3

+2．---------（12分）

點評：本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，正弦函數(shù)的定義域和值域，兩角和差的正弦公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．