Question

已知直線l過點(diǎn)P（0，2），斜率為k，圓Q：x²+y²-12x+32=0．
（1）若直線l和圓相切，求直線l的方程；
（2）若直線l和圓交于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)，問是否存在常數(shù)k，使得

OA

+

OB

與

PQ

共線？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）確定圓的圓心與半徑，設(shè)出直線方程，利用直線l和圓相切，建立方程，即可求得結(jié)論；
（2）將直線l的方程和圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，及

OA

+

OB

與

PQ

共線，結(jié)合根的判別式，可得結(jié)論．

解答：解：（1）將圓的方程化簡(jiǎn)，得：（x-6）²+y²=4，圓心Q（6，0），半徑r=2．
設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，故圓心到直線l的距離d=

|6k-0+2|

1+k2

=

|6k+2|

1+k2

．
因?yàn)橹本�l和圓相切，故d=r，即

|6k+2|

1+k2

=2，解得k=0或k=-

3

4

．
所以，直線l的方程為y=2或3x+4y-8=0．
（2）將直線l的方程和圓的方程聯(lián)立，消y得：（1+k²）x²+4（k-3）x+36=0，
因?yàn)橹本�l和圓相交，故△=[4（k-3）]²-4×36×（1+k²）＞0，解得-

3

4

＜k＜0．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則有：x₁+x₂=-

4(k-3)

1+k2

；x₁x₂=

36

1+k2

而y₁+y₂=kx₁+2+kx₂+2=k（x₁+x₂）+4，

OA

+

OB

=（x₁+x₂，y₁+y₂），

PQ

=（6，-2）．
因?yàn)?span id="of4zsgj" class="MathJye">

OA

+

OB

與

PQ

共線，所以-2×（x₁+x₂）=6×（y₁+y₂）．
即（1+3k）（x₁+x₂）+12=0，代入得（1+3k）[-

4(k-3)

1+k2

]+12=0，解得k=-

3

4

．
又因?yàn)?

3

4

＜k＜0，所以沒有符合條件的常數(shù)k．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．