Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線平行于直線，且與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，若為鈍角，求直線在軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由短軸長(zhǎng)為，離心率為，可求出橢圓中的值，進(jìn)而可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由直線平行于直線，可設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得到關(guān)于的一元二次方程，由，可求得，再結(jié)合為鈍角，可得，且，將該式展開(kāi)，并結(jié)合韋達(dá)定理，可求出，進(jìn)而可求出的取值范圍，再結(jié)合直線在軸上的截距，可求出的取值范圍．

（1）由題意可得，所以，

，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）由于直線平行于直線，即，設(shè)直線在軸上的截距為，

所以的方程為．

聯(lián)立，得，

因?yàn)橹本�與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，

所以，解得．

設(shè)，，則，．

因?yàn)?/span>為鈍角等價(jià)于，且，

所以

，即，且，

所以直線在軸上的截距的取值范圍：．

因?yàn)橹本�在軸上的截距，

所以的取值范圍是：．