Question

已知函數(shù)f（x）=1+

1

x

-x^α（α∈R），且f（3）=-

5

3

．
（1）求α的值；
（2）求函數(shù)f（x）的零點(diǎn)；
（3）判斷f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意得1+

1

3

-3α=-

5

3

，從而解得；
（2）由（1），得f(x)=1+

1

x

-x，從而可得

x2-x-1

x

=0，從而求得函數(shù)的零點(diǎn)；
（3）先可判斷函數(shù)f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)，再由定義法證明函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由f(3)=-

5

3

，得1+

1

3

-3α=-

5

3

，
解得α=1．
（2）由（1），得f(x)=1+

1

x

-x．
令f（x）=0，即1+

1

x

-x=0，
即

x2-x-1

x

=0，
解得x=

1± 5

2

．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

1± 5

2

是1+

1

x

-x=0的根，
所以函數(shù)f（x）的零點(diǎn)為

1± 5

2

．
（3）函數(shù)f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)．
證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂．
f(x1)-f(x2)=(1+

1

x1

-x1)-(1+

1

x2

-x2)=(x2-x1)(

1

x1x2

+1)，
因?yàn)閤₁＜x₂＜0，所以x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
所以f(x)=1+

1

x

-x在（-∞，0）上是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．