Question

（2012•梅州二模）己知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，使P，Q關(guān)于直線y=4x+m對(duì)稱？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，可得a=

2

b；利用不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區(qū)域的面積為16

2

，可得4×

1

2

ab=16

2

，從而可得橢圓C的方程；
（2）假設(shè)P，Q存在，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法可得PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)M在橢圓內(nèi)，建立不等式，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，∴

a2-b2

a

=

2

2

，∴a=

2

b①
根據(jù)對(duì)稱性知，不等式

|x|

a

+

|y|

b

≤1所表示的平面區(qū)域是橢圓C的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形，可得4×

1

2

ab=16

2

②
由①②可得a=4，b=2

2

∴橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

8

=1；
（2）假設(shè)P，Q存在，設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ的中點(diǎn)M（x₀，y₀），則

x12 16 + y12 8 =1 x22 16 + y22 8 =1

兩式相減可得

x22-x12

16

+

y22-y12

8

=1
∴

y2-y1

x2-x1

=-

8

16

×

x1+x2

y1+y2

=-

1

2

×

x0

y0

=-

1

4

∴y₀=2x₀
∵y₀=4x₀+m，∴x0=-

m

2

，y₀=-m
∵M(jìn)在橢圓內(nèi)，∴

x02

16

+

y02

8

＜1
∴

(- m 2 )2

16

+

m2

8

＜1
∴m2＜

64

9

∴-

8

3

＜m＜

8

3

∴m的取值范圍是(-

8

3

，

8

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查橢圓的對(duì)稱性，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．